如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，...

问题详情：

如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．

（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．

【回答】

解：（1）PM与⊙O相切．

理由如下：

连接DO并延长交PM于E，如图，

∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，

∴OC=DC，BO=BD，

∴OC=DC=BO=BD，

∴四边形OBDC为菱形，

∴OD⊥BC，

∴△OCD和△OBD都是等边三角形，

∴∠COD=∠BOD=60°，

∴∠COP=∠EOP=60°，

∵∠MPB=∠ADC，

而∠ADC=∠ABC，

∴∠ABC=∠MPB，

∴PM∥BC，

∴OE⊥PM，

∴OE=OP，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴OC=OP，

∴OE=OC，

而OE⊥PC，

∴PM是⊙O的切线；

（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，

∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．

知识点：各地中考

题型：综合题