如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,等腰△OAB的边OB与反比例函数y=(m>0)的图象相交于点C,其中OB=...
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如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,等腰△OAB的边OB与反比例函数y=(m>0)的图象相交于点C,其中OB=AB,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(2,4),过点C作CH⊥x轴于点H.
(1)已知一次函数的图象过点O,B,求该一次函数的表达式;
(2)若点P是线段AB上的一点,满足OC=AP,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连结OP,记△OPQ的面积为S△OPQ,设AQ=t,T=OH2﹣S△OPQ
①用t表示T(不需要写出t的取值范围);
②当T取最小值时,求m的值.
【回答】
【解答】解:(1)将点O、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx得:4=2k,
解得:k=2,
故一次函数表达式为:y=2x,
(2)①过点B作BM⊥OA,
则∠OCH=∠QPA=∠OAB=∠ABM=α,
则tanα=,sinα=,
∵OB=AB,则OM=AM=2,则点A(4,0),
设:AP=a,则OC=a,
在△APQ中,sin∠APQ===sinα=,
同理PQ==2t,
则PA=a=t,OC=t,
则点C(t,2t),
T=OH2﹣S△OPQ=(OC•sinα)2﹣×(4﹣t)×2t=4t2﹣4t,
②∵4>0,∴T有最小值,当t=时,
T取得最小值,
而点C(t,2t),
故:m=t×2t=.
【点评】本题为反比例函数综合运用题,涉及到等腰三角形*质、解直角三角形、一次函数等知识,其中(2)①,确定点C的坐标,是本题解题的关键.
知识点:各地中考
题型:综合题
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