已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-错误!未找到引用源。与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及...
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-错误!未找到引用源。与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若对于x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
【回答】
∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f'(x)=3x2+2ax+b.
又∵f(x)在x=-错误!未找到引用源。与x=1处都取得极值,
∴f'错误!未找到引用源。a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,
两式联立解得a=-错误!未找到引用源。,b=-2,
∴f(x)=x3-错误!未找到引用源。x2-2x+c,
f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
令f'(x)=0,得x1=-错误!未找到引用源。,x2=1,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x | - | 1 | (1,+∞) | ||
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴函数f(x)的递增区间为错误!未找到引用源。与(1,+∞);
递减区间为错误!未找到引用源。.
(2)f(x)=x3-错误!未找到引用源。x2-2x+c,x∈[-1,2],
当x=-错误!未找到引用源。时,f错误!未找到引用源。+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,
要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恒成立,只需c2>f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.
∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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