已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-4x+2,若对任...
问题详情:
已知函数f(x)=ln x+ax(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=x2-4x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
【回答】
解:(1)f′(x)=a+= (x>0).
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,
f′(x)>0,
所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,由f′(x)=0,得x=-.
在区间上,f′(x)>0,在区间上,
f′(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为,
单调递减区间为.
综上所述,当a≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),
当a<0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由题意得f(x)max<g(x)max,
而g(x)max=2,
由(1)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意.
当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,
故f(x)的极大值即为最大值,f=-1+ln=-1-ln(-a),
所以2>-1-ln(-a),解得a<-.
故a的取值范围为.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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