在平面直角坐标系xOy中,设点F,直线l:x=-,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,P...
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在平面直角坐标系xOy中,设点F,直线l:x=-,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程C;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.
【回答】
解:(1)依题意知,点R是线段FP的中点,
且RQ⊥FP,
∴RQ是线段FP的垂直平分线.
∵|PQ|是点Q到直线l的距离.
点Q在线段FP的垂直平分线上,
∴|PQ|=|QF|.
故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x(x>0).
(2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线C上一点M(x0,y0),M到y轴的距离为d=|x0|=x0,
圆的半径r=|MA|=,
则|TS|=,
因为点M在曲线C上,所以x0=,
所以|TS|=2=2,是定值.
知识点:几何*选讲
题型:解答题
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