在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为(  )A．...

问题详情：

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为(   )

A．                  B．36                     C．               D．

【回答】

B

【分析】

利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果.

【详解】

设正方体的棱长为，则，

因为三棱锥内切球的表面积为，

所以三棱锥内切球的半径为1，

设内切球的球心为，

到面的距离为，

则，，，

又，

，

又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，

正方体外接球的半径为，

其体积为，故选B.

【点睛】

解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径.

知识点：空间几何体

题型：选择题