已知为坐标原点,直线的方程为,点是抛物线上到直线距离最小的点,点是抛物线上异于点的点,直线与直线交于点,过点与...
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已知为坐标原点,直线的方程为,点是抛物线上到直线距离最小的点,点是抛物线上异于点的点,直线与直线交于点,过点与轴平行的直线与抛物线交于点.
(1)求点的坐标;
(2)求*:直线恒过定点;
(3)在(2)的条件下过向轴做垂线,垂足为,求的最小值.
【回答】
(1)设点的坐标为,则
所以,点到直线的距离.
当且仅当时等号成立,此时点坐标为.
(2)设点的坐标为,显然.
当, 点坐标为,直线的方程为;可得,直线;
当时,直线的方程为,
化简得;
综上,直线的方程为
与直线的方程联立,可得点的纵坐标为
因为, 轴,所以点的坐标为.
因此, 点的坐标为
当,即时,直线的斜率.
所以直线的方程为,
整理得
当时,上式对任意恒成立,
此时,直线恒过定点,也在上,
当时,直线的方程为,仍过定点,
故符合题意的直线恒过定点.
(3)所以
设的方程为
则, ,
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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