已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调*；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

问题详情：

已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调*；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

【回答】

（1）当时，单调递减，当时，单调递增（2）

【解析】

【分析】

(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调*即可.

(2)首先讨论x=0情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.

【详解】(1)当时，，，

由于，故单调递增，注意到，故：

当时，单调递减，

当时，单调递增.

(2)由得，，其中，

①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；

②.当时，分离参数a得，，

记，，

令，

则，，

故单调递增，，

故函数单调递增，，

由可得：恒成立，

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

因此，,

综上可得，实数a的取值范围是.

【点睛】导数是研究函数的单调*、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调*；已知单调*，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

知识点：导数及其应用

题型：解答题