设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶*；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．

问题详情：

设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．

（1）讨论f（x）的奇偶*；

（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．

【回答】

【考点】函数的最值及其几何意义．

【专题】函数的*质及应用．

【分析】（1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶*，然后定义定义进行*即可；

（2）讨论当a≤0和a＞0时，求出函数f（x）=x|x﹣a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值．

【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．

当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数．

当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|，

f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，

f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），

∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．

（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，

∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，

若a＞0，由题意可得f（x）=，

由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，

由，

当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，

∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；

当，

即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，

∴f（x）的最大值为f（）=；

当，即时，

f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增，

∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a．

【点评】本题主要考查函数奇偶*的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．

知识点：*与函数的概念

题型：解答题