设函数f(x)=ax﹣﹣2lnx.(Ⅰ)若f(x)在x=2时有极值,求实数a的值和f(x)的极大值;(Ⅱ)若f...
问题详情:
设函数f(x)=ax﹣﹣2lnx.
(Ⅰ)若f(x)在x=2时有极值,求实数a的值和f(x)的极大值;
(Ⅱ)若f(x)在定义域上是减函数,求实数a的取值范围.
【回答】
解:(Ⅰ)f′(x)=a+﹣;
∴f′(2)=a+﹣1=0,解得a=;
∴f′(x)=+﹣=,
x>0,令f′(x)=0,解得:x=,或2;
∴x∈(0,)时,f′(x)>0;x∈(,2)时,f′(x)<0;x∈(2,+∞)时,f′(x)>0;
∴x=时,f(x)取得极大值f()=2ln2﹣;----6分
(Ⅱ)∵f′(x)=,
∴需x>0时ax2﹣2x+a≤0恒成立;
a=0时,函数y=ax2﹣2x+a开口向上,x>0时,满足ax2﹣2x+a<0恒成立,
a<0时,函数g(x)=ax2﹣2x+a的对称轴是x=1/a<0,
图象在y轴左侧且g(0)=a<0,故满足题意,
a>0时不成立
综上,a≤0.---------12分
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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