(1)数学理解:如图①,△ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,...
问题详情:
(1)数学理解:如图①,△ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,求AB,BE,AF之间的数量关系;
(2)问题解决:如图②,在任意直角△ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE+AF,求∠ADB的度数;
(3)联系拓广:如图③,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系.
【回答】
【解答】解:
数学理解:
(1)AB=(AF+BE)
理由如下:∵△ABC是等腰直角三角形
∴AC=BC,∠A=∠B=45°,AB=AC6
∵四边形DECF是正方形
∴DE=DF=CE=CF,∠DFC=∠DEC=90°
∴∠A=∠ADF=45°
∴AF=DF=CE
∴AF+BE=BC=AC
∴AB=(AF+BE)
问题解决:
(2)如图,延长AC,使FM=BE,连接DM,
∵四边形DECF是正方形
∴DF=DE,∠DFC=∠DEC=90°
∵BE=FM,∠DFC=∠DEB=90°,DF=ED
∴△DFM≌△DEB(SAS)
∴DM=DB
∵AB=AF+BE,AM=AF+FM,FM=BE,
∴AM=AB,且DM=DB,AD=AD
∴△ADM≌△ADB(SSS)
∴∠DAC=∠DAB=∠CAB
同理可得:∠ABD=∠CBD=∠ABC
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°
∴∠DAB+∠ABD=(∠CAB+∠CBA)=45°
∴∠ADB=180°﹣(∠DAB+∠ABD)=135°
联系拓广:
(3)∵四边形DECF是正方形
∴DE∥AC,DF∥BC
∴∠CAD=∠ADM,∠CBD=∠NDB,∠MDN=∠AFD=90°
∵∠DAC=∠DAB,∠ABD=∠CBD
∴∠DAB=∠ADM,∠NDB=∠ABD
∴AM=MD,DN=NB
在Rt∠DMN中,MN2=MD2+DN2,
∴MN2=AM2+NB2,
知识点:各地中考
题型:综合题
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