如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．...

问题详情：

如图,△ABC是等腰直角三角形, AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）请说明：DE=DF；

（2）请说明：BE2+CF2=EF2；

（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面积（直接写结果）．

【回答】

（1）*见解析；（2）*见解析；（3）25.

【分析】

（1）连接AD，根据等腰直角三角形*质和直角三角形斜边上中线*质求出∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，AD=BD，求出∠BDE=∠ADF，根据ASA*△BDE≌△ADF即可；

（2）根据AAS*△ADE≌△CDF，推出AE=CF，根据勾股定理求出即可；

（3）求出EF长，根据勾股定理求出DE和DF，根据三角形的面积公式求出即可．

【详解】

（1）*：连接AD，

∵等腰直角三角形ABC，

∴∠C=∠B=45°，

∵D为BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△BDE和△ADF中

，

∴△BDE≌△ADF，

∴DE=DF．

（2）*：∵△BDE≌△ADF，

∴BE=AF，

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，

∴∠EDA=∠FDC，

在△ADE和△CDF中

，

∴△ADE≌△CDF，

∴CF=AE，

∴EF2=AE2+AF2=BE2+CF2，

即BE2+CF2=EF2．

（3）解：EF2=BE2+CF2=100，

∴EF=10，

根据勾股定理DE=DF=5，

△DEF的面积是DE×DF=×5×5=25．

答：△DEF的面积是25．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形*质，勾股定理，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线*质等知识点的应用，关键是①小题构造三角形ADF，*△BDE和△ADF全等，②小题求出CF=AE，目比较典型，但有点难度．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题