已知函数(,,)的图象与x轴交点为(,0),与此交点距离最小的最高点坐标为(,1).(1)求函数f(x)的表达...
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已知函数(,,)的图象与x轴交点
为(,0),与此交点距离最小的最高点坐标为(,1). (1)求函数f(x)的表达式; (2)若函数f(x)满足方程f(x)=a(-1<a<0),求在[0,2π]内的所有实数根之和; (3)把函数y=f(x)的图象的周期扩大为原来的两倍,然后向右平移个单位,再把纵坐标伸长为原来的两倍,最后向上平移一个单位得到函数y=g(x)的图象.若对任意的0≤m≤3,
方程在区间[0,]上至多有一个解,求正数k的取值范围.
【回答】
解:(Ⅰ)从图知,函数的最大值为1,则A=1, 函数f(x)的周期为T=4×(+)=π,而T=,则ω=2, 又x=-时,y=0,所以sin(2×(-)+φ)=0,而-<φ<,则φ=, 所以函数f(x)的表达式为f(x)=sin(2x+);…(4分) (Ⅱ)因为f(x)=sin(2x+)的周期为π, f(x)=sin(2x+)在[0,2π]内恰有2个周期,并且方程sin(2x+)=a(-1<a<0)在[0,2π]内有4个实根, ,, 故所有实数根之和为;…(8分) (Ⅲ)g(x)=2sin(x-)+1, 函数y=|g(x)|的图象如图所示: 则当y=|g(x)|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意,所以0<k≤.
知识点:三角函数
题型:解答题
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