设椭圆()的左右顶点为,上下顶点为,菱形的内切圆的半径为,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上...
问题详情:
设椭圆()的左右顶点为,上下顶点为,菱形的内切圆的半径为,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上关于原点对称的两点,椭圆上一点满足,试判断直线与圆的位置关系,并*你的结论.
【回答】
(1) (2)直线、与圆相切,*见解析
【解析】
(1)由离心率得,用两种方法表示出菱形的面积可求得,得椭圆方程;
(2)设,.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,代入椭圆方程,用韦达定理得,利用,即得的关系,求出圆心到直线的距离可得直线与圆的位置关系.直线的斜率不存在时,直接计算可得,由对称*的结论也可得.
【详解】(1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知,.
设圆半径为,则,
∴,解得,∴,
∴椭圆的方程为
(2)∵关于原点对称,,∴.
设,.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由直线和椭圆方程联立得,即,
∴.
∵,,
∴
,
∴,,
∴圆的圆心O到直线的距离为,∴直线与圆相切.
当直线的斜率不存在时,依题意得,.
由得,∴,结合得,
∴直线到原点O的距离都是,
∴直线与圆也相切.
同理可得,直线与圆也相切.
∴直线、与圆相切
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查直线与椭圆相交问题,考查直线与圆的位置关系.直线与椭圆相交,一般采取设而不求思想,即设交点坐标,设直线方程,由直线方程与椭圆方程联立,消元后用韦达定理得,把这个结论代入其他条件求解.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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