在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的...

问题详情：

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．

【回答】

解：(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．

又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，

所以a2＝4，b2＝2，

因此椭圆方程为＋＝1．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

因为|NF|＝|m|，

令y＝t＋，所以y′＝1－．

当t≥3时，y′>0，

从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，

因此t＋≥，

等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，

所以≤1＋3＝4，

由(*)得－<m<且m≠0．

故≥，

设∠EDF＝2θ，则sin θ＝≥，

所以θ的最小值为．

从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0．

综上所述：当k＝0，m∈(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题