如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的...
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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,|AB|+|CD|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)求以A,B,C,D为顶点的四边形的面积的取值范围.
【回答】
解:(1)由题意知,e==,
则a=c,b=c.
当直线AB的斜率为0时,|AB|+|CD|=2a+=2c+c=3,所以c=1.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)①当直线AB与直线CD中有一条的斜率为0时,另一条的斜率不存在.
由题意知S四边形=|AB|·|CD|=×2×=2.
②当两条直线的斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),则直线CD的方程为y=-(x-1).
将直线AB的方程代入椭圆方程,并整理得
(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以S四边形=·|AB|·|CD|
因为
当且仅当k=±1时取等号,
所以S四边形∈.
综合①与②可知,S四边形∈.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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