已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O...
问题详情:
已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求*:两切线斜率之积为定值.
【回答】
解 (1)设椭圆半焦距为c,
圆心O到l的距离d==,
所以b==.
由题意得又b=,∴a2=3,b2=2.
∴椭圆E的方程为+=1.
(2)*:设点P(x0,y0),过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k(x-x0),
联立直线l0与椭圆E的方程得
把y=kx+(y0-kx0)代入+=1,消去y得
(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,∵l0与椭圆E相切.
∴Δ=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0,整理得(2-x)k2+2kx0y0-(y-3)=0,
设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1·k2=-
∵点P在圆O上,∴x+y=5,
∴k1·k2=-=-1.
∴两条切线斜率之积为常数-1.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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