已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，*；...

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已知函数，，其中a>1.

（I）求函数的单调区间；

（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，*；

（III）*当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

【回答】

(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)*见解析；(Ⅲ)*见解析.

【解析】

分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.

（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.

（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的*质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可*得存在实数t，使得，则题中的结论成立.

详解：（I）由已知，，有.

令，解得x=0.

由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.

由，可得曲线在点处的切线斜率为.

因为这两条切线平行，故有，即.

两边取以a为底的对数，得，所以.

（III）曲线在点处的切线l1：.

曲线在点处的切线l2：.

要*当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，

只需*当时，存在，，使得l1和l2重合.

即只需*当时，方程组有解，

由①得，代入②，得.   ③

因此，只需*当时，关于x1的方程③存在实数解.

设函数，

即要*当时，函数存在零点.

，可知时，；

时，单调递减，

又，，

故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.

由此可得在上单调递增，在上单调递减.

在处取得极大值.

因为，故，

所以.

下面*存在实数t，使得.

由（I）可得，

当时，

有

，

所以存在实数t，使得

因此，当时，存在，使得.

所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

点睛：导数是研究函数的单调*、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调*；已知单调*，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

知识点：导数及其应用

题型：解答题