如图,AB是⊙O的直径,C,P是上两点,AB=13,AC=5.(1)如图(1),若点P是的中点,求PA的长;(...
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如图,AB是⊙O的直径,C,P是上两点,AB=13,AC=5.
(1)如图(1),若点P是的中点,求PA的长;
(2)如图(2),若点P是的中点,求PA的长.
【回答】
【考点】相似三角形的判定与*质;勾股定理;等腰直角三角形;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)根据圆周角的定理,∠APB=90°,P是弧AB的中点,所以三角形APB是等腰三角形,利用勾股定理即可求得.
(2)根据垂径定理得出OP垂直平分BC,得出OP∥AC,从而得出△ACB∽△0NP,根据对应边成比例求得ON、AN的长,利用勾股定理求得NP的长,进而求得PA.
【解答】解:(1)如图(1)所示,连接PB,
∵AB是⊙O的直径且P是的中点,
∴∠PAB=∠PBA=45°,∠APB=90°,
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13,
∴PA===.
(2)如图(2)所示:连接BC.OP相交于M点,作PN⊥AB于点N,
∵P点为弧BC的中点,
∴OP⊥BC,∠OMB=90°,
又因为AB为直径
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠OMB,
∴OP∥AC,
∴∠CAB=∠POB,
又因为∠ACB=∠ONP=90°,
∴△ACB∽△0NP
∴=,
又∵AB=13 AC=5 OP=,
代入得 ON=,
∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中,有NP2=0P2﹣ON2=36
在Rt△ANP中 有PA===3
∴PA=3.
【点评】本题考查了圆周角的定理,垂径定理,勾股定理,等腰三角形判定和*质,相似三角形的判定和*质,作出辅助线是本题的关键.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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