如图,在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,点C、D、E在同一条直线上,连接BD...
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如图,在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,点C、D、E在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2).其中,结论正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【回答】
B【考点】全等三角形的判定与*质;等腰直角三角形.
【分析】①由条件*△ABD≌△ACE,就可以得到结论;
②由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°,由∠ABD=∠ACE就可以得出结论;
③由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE,就可以得出∠BDC=90°,进而得出结论;
④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2,由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2,BC2=2AB2,就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论.
【解答】解:如图:
①∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∴①正确;
②∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABD+∠DBC=45°.
∴∠ACE+∠DBC=45°,∴②正确;
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠CAB=90°,
∴∠ABD+∠AFB=90°,
∴∠ACE+∠AFB=90°.
∵∠DFC=∠AFB,
∴∠ACE+∠DFC=90°,
∴∠FDC=90°.
∴BD⊥CE,∴③正确;
④∵BD⊥CE,
∴BE2=BD2+DE2,
∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,
∴DE2=2AD2,BC2=2AB2,
∵BC2=BD2+CD2≠BD2,
∴2AB2=BD2+CD2≠BD2,
∴BE2≠2(AD2+AB2),∴④错误.
故选B.
【点评】本题考查了全等三角形的判定及*质的运用,垂直的判定及*质的运用,等腰直角三角形的*质的运用,勾股定理的运用,解答时运用全等三角形的*质求解是关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:选择题
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