如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=14,点D,E分别在边AB,BC上,将线段ED绕点E按逆时...
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如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=14,点D,E分别在边AB,BC上,将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.
(1)如图1,若AD=BD,点E与点C重合,AF与DC相交于点O.求*:BD=2DO.
(2)已知点G为AF的中点.
①如图2,若AD=BD,CE=2,求DG的长.
②若AD=6BD,是否存在点E,使得△DEG是直角三角形?若存在,求CE的长;若不存在,试说明理由.
【回答】
【分析】(1)如图1中,首先*CD=BD=AD,再*四边形ADFC是平行四边形即可解决问题.
(2)①作DT⊥BC于点T,FH⊥BC于H.*DG是△ABF的中位线,想办法求出BF即可解决问题.
②分三种情形情形:如图3﹣1中,当∠DEG=90°时,F,E,G,A共线,作DT⊥BC于点T,FH⊥BC于H.设EC=x.构建方程解决问题即可.如图3﹣2中,当∠EDG=90°时,取AB的中点O,连接OG.作EH⊥AB于H.构建方程解决问题即可.如图3﹣3中,当∠DGE=90°时,构造相似三角形,利用相似三角形的*质构建方程解决问题即可.
【解答】(1)*:如图1中,
∵CA=CB,∠ACB=90°,BD=AD,
∴CD⊥AB,CD=AD=BD,
∵CD=CF,
∴AD=CF,
∵∠ADC=∠DCF=90°,
∴AD∥CF,
∴四边形ADFC是平行四边形,
∴OD=OC,
∵BD=2OD.
(2)①解:如图2中,作DT⊥BC于点T,FH⊥BC于H.
由题意:BD=AD=CD=7,BC=BD=14,
∵DT⊥BC,
∴BT=TC=7,
∵EC=2,
∴TE=5,
∵∠DTE=∠EHF=∠DEF=90°,
∴∠DET+∠TDE=90°,∠DET+∠FEH=90°,
∴∠TDE=∠FEH,
∵ED=EF,
∴△DTE≌△EHF(AAS),
∴FH=ET=5,
∵∠DDBE=∠DFE=45°,
∴B,D,E,F四点共圆,
∴∠DBF+∠DEF=90°,
∴∠DBF=90°,
∵∠DBE=45°,
∴∠FBH=45°,
∵∠BHF=90°,
∴∠HBF=∠HFB=45°,
∴BH=FH=5,
∴BF=5,
∵∠ADC=∠ABF=90°,
∴DG∥BF,
∵AD=DB,
∴AG=GF,
∴DG=BF=.
②解:如图3﹣1中,当∠DEG=90°时,F,E,G,A共线,作DT⊥BC于点T,FH⊥BC于H.设EC=x.
∵AD=6BD,
∴BD=AB=2,
∵DT⊥BC,∠DBT=45°,
∴DT=BT=2,
∵△DTE≌△EHF,
∴EH=DT=2,
∴BH=FH=12﹣x,
∵FH∥AC,
∴=,
∴=,
整理得:x2﹣12x+28=0,
解得x=6±2.
如图3﹣2中,当∠EDG=90°时,取AB的中点O,连接OG.作EH⊥AB于H.
设EC=x,由2①可知BF=(12﹣x),OG=BF=(12﹣x),
∵∠EHD=∠EDG=∠DOG=90°,
∴∠ODG+∠OGD=90°,∠ODG+∠EDH=90°,
∴∠DGO=∠HDE,
∴△EHD∽△DOG,
∴=,
∴=,
整理得:x2﹣36x+268=0,
解得x=18﹣2或18+2(舍弃),
如图3﹣3中,当∠DGE=90°时,取AB的中点O,连接OG,CG,作DT⊥BC于T,FH⊥BC于H,EK⊥CG于K.设EC=x.
∵∠DBE=∠DFE=45°,
∴D,B,F,E四点共圆,
∴∠DBF+∠DEF=90°,
∵∠DEF=90°,
∴∠DBF=90°,
∵AO=OB,AG=GF,
∴OG∥BF,
∴∠AOG=∠ABF=90°,
∴OG⊥AB,
∵OG垂直平分线段AB,∵CA=CB,
∴O,G,C共线,
由△DTE≌△EHF,可得EH=DT=BT=2,ET=FH=12﹣x,BF=(12﹣x),OG=BF=(12﹣x),CK=EK=x,GK=7﹣(12﹣x)﹣x,
由△OGD∽△KEG,可得=,
∴=,
解得x=2,
,综上所述,满足条件的EC的值为6±2或18﹣2或2.
【点评】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的*质,平行四边形的判定和*质,全等三角形的判定和*质,相似三角形的判定和*质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题.
知识点:各地中考
题型:综合题
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