如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=3，P是*线AB上的一个动点，以P为圆心，PA...

问题详情：

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=3，P是*线AB上的一个动点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与*线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．

（1）当PA=1时，求CE的长；

（2）如果点P在边AB的上，当⊙P与以点C为圆心，CE为半径的⊙C内切时，

求⊙P的半径；

（3）设线段BE的中点为Q，*线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过程中，当PE∥CF时，求AP的长．2-1-c-n-j-y

【回答】

解：（1）作PH⊥AC，垂足为H，∵PH过圆心，∴AH=DH………………………（1分）

∵∠ACB=90°，∴PH∥BC， ∵cosB=，BC=3，∴AB=5，AC=4

∵PH∥BC，∴，∴，∴…………………………………（1分）

∴……………………………………………………………………………（1分）

∴DC=，又∵，∴，∴……………………………（1分）（2）当⊙P与⊙C内切时，点C在⊙P内，∴点D在AC的延长线上

过点P作PG⊥AC，垂足为G，设PA=，则，…………（1分），，∵，，…（1分）

∵⊙P与⊙C内切,∴………………………………………………………（1分）

∴……………………………………………………（1分）

∴,∴，（舍去）………………………………（1分）

∴当⊙P与⊙C内切时，⊙P的半径为．

（3）∵∠ABC+∠A=90゜，∠PEC+∠CDE=90゜，∵∠A=∠PDA，∴∠ABC=∠PEC

∵∠ABC=∠EBP，∴∠PEC=∠EBP，∴PB=PE…………………………………………（1分）

∵点Q为线段BE的中点，∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC

∴当PE∥CF时，四边形PDCF是平行四边形，∴PF=CD………………………………（1分）

当点P在边AB的上时，，…………………………………………（1分）

当点P在边AB的延长线上时，，…………………………………（2分）

综上所述，当PE∥CF时，AP的长为或．

知识点：相似三角形

题型：综合题