如图,在正方形ABCD中,边长为4,∠MDN=90°,将∠MDN绕点D旋转,其中DM边分别与*线BA、直线AC...
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如图,在正方形ABCD中,边长为4,∠MDN=90°,将∠MDN绕点D旋转,其中DM边分别与*线BA、直线AC交于E、Q两点,DN边与*线BC交于点F;连接EF,且EF与直线AC交于点P.
(1)如图1,点E在线段AB上时,①求*:AE=CF;②求*:DP垂直平分EF;
(2)当AE=1时,求PQ的长.
【回答】
【分析】(1)①只要*△ADE≌△CDE(ASA)即可解决问题;
②利用相似三角形的*质*∠PDQ=45°即可解决问题;
(2)①当点E在线段AB上时,作QH⊥AD于H,QG⊥AB于G.由△AQD∽△EQP,可知AQ•PQ=DQ•EQ,想办法求出AQ,EQ,DQ即可解决问题;②当点E在BA的延长线上时,作QH⊥AD于H,QG⊥AB于G,方法类似.
【解答】(1)①*:∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠ADC=∠DAE=∠DCF=90°,
∴∠ADC=∠MDN=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDE(ASA),
∴AE=CF.
②∵△ADE≌△CDE(ASA),
∴DE=DF,∵∠MDN=90°,
∴∠DEF=45°,
∵∠DAC=45°,
∴∠DAQ=∠PEQ,∵∠AQD=∠EQP,
∴△AQD∽△EQP,
∴=,
∴=,∵∠AQE=∠PQD,
∴△AQE∽△DQP,
∴∠QDP=∠QAE=45°,
∴∠DPE=90°,
∴DP⊥EF,∵DE=DF,
∴PE=PF,
∴DP垂直平分线段EF.
(2)解:①当点E在线段AB上时,作QH⊥AD于H,QG⊥AB于G.
在Rt△ADE中,DE==,
∵∠QAH=∠QAG=45°,
∴HO=QE=AH=EQ,设QH=x,
∵×4×x+×1×x=×1×4,
∵x=,
∴AQ=,DQ==,EQ=,
∵△AQD∽△EQP,
∴AQ•PQ=DQ•EQ,
∴PQ==.
②当点E在BA的延长线上时,作QH⊥AD于H,QG⊥AB于G.
在Rt△ADE中,DE==,
∵∠QAH=∠QAG=45°,
∴HO=QE=AH=EQ,设QH=x,
∵×4×x﹣×1×x=×1×4,
∵x=,
∴AQ=,DQ==,EQ=,
∵△AQD∽△EQP,
∴AQ•PQ=DQ•EQ,
∴PQ==.
综上所述,PQ的长为或.
【点评】本题考查正方形的*质,全等三角形的判定和*质,相似三角形的判定和*质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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