菱形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON绕点O旋转,*线OM交...
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菱形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON绕点O旋转,*线OM交边BC于点E,*线ON交边DC于点F,连接EF.
(1)如图1,当∠ABC=90°时,△OEF的形状是 ;
(2)如图2,当∠ABC=60°时,请判断△OEF的形状,并说明理由;
(3)在(1)的条件下,将∠MON的顶点移到AO的中点O′处,∠MO′N绕点O′旋转,仍满足∠MO′N+∠BCD=180°,*线O′M交直线BC于点E,*线O′N交直线CD于点F,当BC=4,且=时,直接写出线段CE的长.
【回答】
(1)△OEF是等腰直角三角形;
*:如图1,∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠BOC=90°,∠BCD=90°,∠EBO=∠FCO=45°,
∴∠BOE+∠COE=90°,
∵∠MON+∠BCD=180°,
∴∠MON=90°,
∴∠COF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE与△COF中,
,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∴△OEF是等腰直角三角形;
故*为等腰直角三角形;
(2)△OEF是等边三角形;
*:如图2,过O点作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,
∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CA平分∠BCD,∠ABC+BCD=180°,
∴OG=OH,∠BCD=180°﹣60°=120°,
∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°,
∴∠GOH+∠BCD=180°,
∴∠MON+∠BCD=180°,
∴∠GOH=∠EOF=60°,
∵∠GOH=∠GOF+∠FOH,∠EOF=∠GOF+∠EOG,
∴∠EOG=∠FOH,
在△EOG与△FOH中,
,
∴△EOG≌△FOH(ASA),
∴OE=OF,
∴△OEF是等边三角形;
(3)*:如图3,∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴=,
过O点作O′G⊥BC于G,作O′H⊥CD于H,
∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°,
∴四边形O′GCH是矩形,
∴O′G∥AB,O′H∥AD,
∴===,
∵AB=BC=CD=AD=4,
∴O′G=O′H=3,
∴四边形O′GCH是正方形,
∴GC=O′G=3,∠GO′H=90°
∵∠MO′N+∠BCD=180°,
∴∠EO′F=90°,
∴∠EO′F=∠GO′H=90°,
∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H,∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G,
∴∠EO′G=∠FO′H,
在△EO′G与△FO′H中,
,
∴△EO′G≌△FO′H(ASA),
∴O′E=O′F,
∴△O′EF是等腰直角三角形;
∵S正方形ABCD=4×4=16,=,
∴S△O′EF=18,
∵S△O′EF=O′E2,
∴O′E=6,
在RT△O′EG中,EG===3,
∴CE=CG+EG=3+3.
根据对称*可知,当∠M′ON′旋转到如图所示位置时,
CE′=E′G﹣CG=3﹣3.
综上可得,线段CE的长为3+3或3﹣3.
知识点:各地中考
题型:综合题
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