如图，以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点，且与边AB相交于点E，D是弧BE的中点，CD交AB于...

问题详情：

如图，以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点，且与边AB相交于点E，D是弧BE的中点，CD交AB于F，AC=AF．

（1）求*：AC是⊙O的切线；

（2）若EF=5，DF=，求⊙O的半径．

【回答】

【考点】切线的判定．

【专题】*题．

【分析】（1）连结OD、OC，如图，根据垂径定理的推论，由D是弧BE的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠3=90°，而∠3=∠2，所以∠D+∠2=90°，再利用AF=AC，OD=OC，得到∠1=∠2，∠D=∠4，易得∠1+∠4=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，则OF=OE﹣EF=r﹣5，在Rt△ODF中，根据勾股定理得r2+（r﹣5）2=（）2，然后解方程即可得到圆的半径．

【解答】（1）*：连结OD、OC，如图，

∵D是弧BE的中点，

∴OD⊥BE，

∴∠D+∠3=90°，

∵∠3=∠2，

∴∠D+∠2=90°，

∵AF=AC，OD=OC，

∴∠1=∠2，∠D=∠4，

∴∠1+∠4=90°，

∴OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，

则OF=OE﹣EF=r﹣5，

在Rt△ODF中，

∵OD2+OF2=DF2，

∴r2+（r﹣5）2=（）2，

整理得r2﹣5r﹣6=0，

解得r1=6，r2=﹣1，

∴，⊙O的半径为6．

【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，*该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，*该半径垂直于这条直线．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题