如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．

（1）求*：四边形为菱形．

（2）求四边形的面积．

（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．

【回答】

【解答】（1）*：如图1中，

，，

四边形是平行四边形，

四边形是正方形，

，，

，分别是，的中点，

，

，

，

四边形是菱形．

（2）解：如图1中，连接．

，

，

，

．

（3）解：如图1中，连接，设交于，

，，

，

，

，

，

，

①当为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形：

如图2中，设交于，过点作轴于，交于，设．

菱形菱形，

，

，，

，

是的中位线，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

如图3中，过点作轴于，过点作轴交于，延长交于．

同法可*：，

，设，

，

，

是的中位线，

，

，

，

，

，

．

②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形：

如图4中，，过点作于，过点作于．

是的中位线，

，

同法可得：，

，

，

，设，则，

，

，

，

，

点的坐标为，．

如图5中，，过点作轴于交于，过点作于．

是的中位线，

，，

同法可得：，

，则，

设，则，

，

，

，

，

，．

③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形：

过点作轴于于点，交于，过点作于．

轴，，

，

，

同法可得：，

，

，，

是的中位线，

，

，

，

综上所述，满足条件的点的坐标为或或，或，或．

知识点：各地中考

题型：综合题