(1)如图(1),在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DC...
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(1)如图(1),在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°,求*:AM=MN.下面给出一种*的思路,你可以按这一思路*,也可以选择另外的方法*.
*:在边AB上截取AE=MC,连接ME.
正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.
∴ ∠NMC=180°- ∠AMN- ∠AMB=180°- ∠B- ∠AMB= ∠MAB=∠MAE.
(下面请你完成余下的*过程)
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图(2)),N是∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD……X”,请你作出猜想:当∠AMN=_________°时,结论AM=MN仍然成立.(直接写出*,不需要*)
【回答】
(1)∵ AE=MC,
∴ BE=BM.
∴ ∠BEM=∠EMB=45°.
∴ ∠AEM=135°.
∵ CN平分∠DCP,∠PCN=45°,
∴ ∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∵ ∠AEM=∠MCN,AE=MC,∠EAM=∠CMN
∴ △AEM≌△MCN.
∴ AM=MN.
(2)仍然成立.
在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC,∠B=∠ACB=60°.
∴ ∠ACP=120°.
∵ AE=MC,∴ BE=BM.
∴ ∠BEM=∠EMB=60°.
∵ CN平分∠ACP,∴ ∠PCN=60°.
∴ ∠AEM=120°.
∴ ∠AEM=∠MCN=120°.
∵ ∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM,
∴ △AEM≌△MCN.∴ AM=MN.
(3)
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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