如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F(1)*...
问题详情:
如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F
(1)*:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
【回答】
(1)*见解析(2)90°(3)AP=CE
【分析】
(1)、根据正方形得出AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP,从而得出结论;(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP,∠DAP=∠DCP,根据PA=PE得出∠DAP=∠E,即∠DCP=∠E,易得*;(3)、首先*△ABP和△CBP全等,然后得出PA=PC,∠BAP=∠BCP,然后得出∠DCP=∠E,从而得出∠CPF=∠EDF=60°,然后得出△EPC是等边三角形,从而得出AP=CE.
【详解】
(1)、在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP(SAS), ∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE;
(2)、由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E, ∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E, 即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)、AP=CE
理由是:在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP,
在△ABP和△CBP中, 又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠DCP,
∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP, ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等), ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°, ∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE
考点:三角形全等的*
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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