如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在*线AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.(1)求...
问题详情:
如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在*线AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.
(1)求*:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似,试求x的值;
(3)试求当x取何值时,以D为圆心,DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点.
【回答】
(1)*见解析;(2)满足条件的x的值为2或5;(3)当x=4-或x=4+或8<x≤4+2时,⊙D与线段AE只有一个公共点.
【解析】
(1)根据正方形的*质和PF⊥AE易*三角形相似.
(2)由于对应关系不确定,所以应针对不同的对应关系分情况考虑:当∠PEF=∠EAB时,则得到四边形ABEP为矩形,从而求得x的值;当∠PEF=∠AEB时,再结合△PFA∽△ABE,得到等腰△APE.再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点,运用勾股定理和相似三角形的*质进行求解.
(3)此题首先应针对点P的位置分为两种大情况:点P在AD边上时或当点P在AD的延长线上时.同时还要特别注意⊙D与线段AE只有一个公共点,不一定必须相切,只要保*和线段AE只有一个公共点即可.故求得相切时的情况和相交,但其中一个交点在线段AE外的情况即是x的取值范围.
【详解】
(1)*:∵正方形ABCD,
∴AD∥BC.
∴∠ABE=90°.
∴∠PAF=∠AEB.
又∵PF⊥AE,
∴∠PFA=∠ABE=90°.
∴△PFA∽△ABE.
(2)解:情况1,当△EFP∽△ABE,且∠PEF=∠EAB时,
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形.
∴PA=EB=2,即x=2.
情况2,当△PFE∽△ABE,且∠PEF=∠AEB时,
∵∠PAF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE,
∴点F为AE的中点.
∵===,
∴EF=AE=.
∵=,即=,
∴PE=5,即x=5.
∴满足条件的x的值为2或5.
(3)解:如图,
作DH⊥AE,则⊙D与线段AE的距离d即为DH的长,可得d=
当点P在AD边上时,⊙D的半径r=DP=4﹣x;
当点P在AD的延长线上时,⊙D的半径r=DP=x﹣4;
如图1时,⊙D与线段AE相切,此时d=r,即=4-x,∴x=4-;
如图2时,⊙D与线段AE相切,此时d=r,即=x-4,∴x=4+;
如图3时,DA=PD,则PA=x=2DA=8
如图4时,当PD=ED时,
∵DE==2,
∴PA=PD+AD=4+2,
∴当x=4-或x=4+或8<x≤4+2时,⊙D与线段AE只有一个公共点.
【点睛】
这道题综合运用相似三角形的判定和*质.需要特别注意的是:和线段有一个公共点,不一定必须相切,也可以相交,但其中一个交点在线段外.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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