中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）*：∠BAE=∠FEC；（2）*：△A...

问题详情：

中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）*：∠BAE=∠FEC；

（2）*：△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面积．

【回答】

【考点】全等三角形的判定与*质；正方形的*质．

【分析】（1）由于∠AEF是直角，则∠BAE和∠FEC同为∠AEB的余角，由此得*；

（2）根据正方形的*质，易*得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；

（3）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE2的一半，由此得解．

【解答】（1）*：∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°；

在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC；

（2）*：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；

又∵CF是∠DCH的平分线，

∴∠DCF=∠FCH=45°，

∠ECF=90°+45°=135°；

在△AGE和△ECF中，；

∴△AGE≌△ECF；

（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；

又∵∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形；

∵AB=a，E为BC中点，

∴BE=BC=AB=a，

根据勾股定理得：AE==a，

∴S△AEF=a2．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题