如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B...

问题详情：

如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．

（1）求*：四边形ABCD是正方形．

（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．

（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，则HR＝　   　．

【回答】

（1）*：作AG⊥EF于G，如图1所示：

则∠AGE＝∠AGF＝90°，

∵AB⊥CE，AD⊥CF，

∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，

∴四边形ABCD是矩形，

∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，

∴AB＝AG，AD＝AG，

∴AB＝AD，

∴四边形ABCD是正方形；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD＝6，

在Rt△ABE和Rt△AGE中，，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），

∴BE＝BG，

同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），

∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，

设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，

整理得：xy+6（x+y）＝36，

∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；

（3）解：如图2所示：

把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，

由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，

∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，

∴GQ＝4，

设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，

在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，

解得：a＝3，即HR＝3；

故*为：3．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题