以椭圆C:+=1(a>b>0)的中心O为圆心,以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.(1)若椭圆C的离心率为,其“...
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以椭圆C:+=1(a>b>0)的中心O为圆心,以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.
(1)若椭圆C的离心率为,其“伴随”与直线x+y﹣2=0相切,求椭圆C的方程.
(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于AB两点,*线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值; (ii)求△ABQ面积的最大值.
【回答】
解:(1)∵椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其“伴随”与直线x+y﹣2=0相切,
∴,解得a=2,b=1,
∴椭圆C的方程为=1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1,
(i)设P(x0,y0),|=λ,由题意可知,
Q(﹣λx0,﹣λy0),由于+y02=1,
又+=1,即(+y02)=1,
所以λ=2,即|=2;
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,可得
(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,由△>0,可得m2<4+16k2,①
则有x1+x2=﹣,x1x2=,
所以|x1﹣x2|=,
由直线y=kx+m与y轴交于(0,m),
则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2,
设=t,则S=2,
将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
由△>0可得m2<1+4k2,②
由①②可得0<t<1,则S=2在(0,1)递增,即有t=1取得最大值,
即有S,即m2=1+4k2,取得最大值2,
由(i)知,△ABQ的面积为3S,
即△ABQ面积的最大值为6.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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