.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°.BC=CC1=a,AC=2a.(1)求*:AB1⊥...
问题详情:
.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°.BC=CC1=a,AC=2a.
(1)求*:AB1⊥BC1;
(2)求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值.
【回答】
【考点】MT:二面角的平面角及求法.
【分析】(1)由已知可得AC⊥平面B1BCC1,则AC⊥BC1,再由BC=CC1,得BC1⊥B1C,由线面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C,从而得到AB1⊥BC1;
(2)设BC1∩B1C=O,作OP⊥AB1于点P,连结BP.由(1)知BO⊥AB1,进一步得到AB1⊥平面BOP,说明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角.然后求解直角三角形得*.
【解答】(1)*:∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,
∴CC1⊥平面ABC,则AC⊥CC1.
又∵AC⊥BC,BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面B1BCC1,则AC⊥BC1,
∵BC=CC1,∴四边形B1BCC1是正方形,
∴BC1⊥B1C,
又AC∩B1C=C,∴BC1⊥平面AB1C,则AB1⊥BC1;
(2)解:设BC1∩B1C=O,作OP⊥AB1于点P,连结BP.
由(1)知BO⊥AB1,而BO∩OP=O,
∴AB1⊥平面BOP,则BP⊥AB1,
∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角.
∵△OPB1~△ACB1,∴,
∵BC=CC1=a,AC=2a,∴OP=,
∴=.
在Rt△POB中,sin∠OPB=,
∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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