已知函数,.(1)若曲线在点处的切线方程为,求a的值;(2)若为函数的极值点,且,求*:.
问题详情:
已知函数,.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求a的值;
(2)若为函数的极值点,且,求*:.
【回答】
(1)(2)*见解析;
【解析】
(1)先对函数求导得到,再分别求,,写出曲线在点处的切线方程,根据题意列出方程组,解方程组即可求得a的值;
(2)需要多次构造函数,利用函数的单调*、极值等解决问题.
【详解】
解:(1)由题意得的定义域为,,
则,
又,
所以曲线在点处的切线方程为,
即,
所以,解得.
(2)由(1)得,显然.
令,,
当时,,在上单调递增,无极值,不符合题意;
当时,,所以在上单调递增.
取b满足,则,
所以.
又,所以存在,使得,此时.
又当时,,,单调递减,
当时,,,单调递增,
所以为函数的极小值点,且,则,所以在上单调递减.又,,所以.
令.
所以当时,单调递增,所以,所以,
所以.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义、函数的极值点、不等式的*等,考查考生利用导数的有关知识分析问题、解决问题的能力,推理论*能力和化归与转化能力.
本题以含参函数为依托,运用导数运算法则,选择合适的方法,经过推理、运算解决问题,体现数学抽象、数学运算等核心素养. 本题第(2)问的求解过程需要考生有清晰的解题思路,对考生的能力要求较高,试题的区分度较大.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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