如图,已知椭圆()的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点,为顶点的三角形的周长为,一等轴双曲线的顶点是该...
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如图,已知椭圆()的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点,为顶点的三角形的周长为,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为、和、.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线、的斜率分别为、,*为定值;
(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为=,
得,又2a+2c=,
所以可解得,c=2,所以b2=a2﹣c2=4,
所以椭圆的标准方程为;
所以椭圆的焦点坐标为(±2,0),
因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,
所以该双曲线的标准方程为. .......2分
(Ⅱ)设点P(x0,y0),
则k1=,k2=,
∴k1•k2==,
又点P(x0,y0)在双曲线上,
∴,即y02=x02﹣4,
∴k1•k2==1. .........6分
(Ⅲ)假设存在常数λ,使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立,
则由(II)知k1•k2=1,
∴设直线AB的方程为y=k(x+2),则直线CD的方程为y=(x﹣2),
由方程组消y得:(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则由韦达定理得,,
∴AB==,
同理可得CD===,
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|,
∴λ==﹣==,
∴存在常数λ=,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立. ......12分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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