小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了*作、推理与拓展.(1)温故:如图1,在△ABC中,AD⊥BC...
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小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了*作、推理与拓展.
(1)温故:如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的边长.
(2)*作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行*作:如图2,任意画△ABC,在AB上任取一点P',画正方形P'Q'M'N',使Q',M'在BC边上,N'在△ABC内,连结BN'并延长交AC于点N,画NM⊥BC于点M,NP⊥NM交AB于点P,PQ⊥BC于点Q,得到四边形PPQMN.小波把线段BN称为“波利亚线”.
(3)推理:*图2中的四边形PQMN是正方形.
(4)拓展:在(2)的条件下,在*线BN上截取NE=NM,连结EQ,EM(如图3).当tan∠NBM=时,猜想∠QEM的度数,并尝试*.
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.
【回答】
【分析】(1)理由相似三角形的*质构建方程即可解决问题.
(2)根据题意画出图形即可.
(3)首先*四边形PQMN是矩形,再*MN=PN即可.
(4)*△BQE∽△BEM,推出∠BEQ=∠BME,由∠BME+∠EMN=90°,可得∠BEQ+∠NEM=90°,即可解决问题.
【解答】(1)解:如图1中,
∵PN∥BC,
∴△APN∽△ABC,
∴=,即=,
解得PN=.
(2)能画出这样的正方形,如图2中,正方形PNMQ即为所求.
(3)*:如图2中,
由画图可知:∠QMN=∠PQM=∠NPQ=∠BM′N′=90°,
∴四边形PNMQ是矩形,MN∥M′N′,
∴△BN′M′∽△BNM,
∴=,
同理可得:=,
∴=,
∵M′N′=P′N′,
∴MN=PN,
∴四边形PQMN是正方形.
(4)解:如图3中,结论:∠QEM=90°.
理由:由tan∠NBM==,可以假设MN=3k,BM=4k,则BN=5k,BQ=k,BE=2k,
∴==,==,
∴=,
∵∠QBE=∠EBM,
∴△BQE∽△BEM,
∴∠BEQ=∠BME,
∵NE=NM,
∴∠NEM=∠NME,
∵∠BME+∠EMN=90°,
∴∠BEQ+∠NEM=90°,
∴∠QEM=90°.
【点评】本题属于四边形综合题,考查了正方形的*质和判定,相似三角形的判定和*质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题.
知识点:各地中考
题型:综合题
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