(2013•泰州)已知:关于x的二次函数y=-x2+ax(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(...
习题库1.47W
问题详情:
(2013•泰州)已知:关于x的二次函数y=-x2+ax(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.(1)y1=y2,请说明a必为奇数;(2)设a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.试题*
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分析:(1)将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式,利用y1=y2得到用n表示a的式子,即可得到*;(2)将a=11代入解析式后,由题意列出不等式组,求得此不等式组的正整数解;(3)本问为存在型问题.如解答图所示,可以由三角形全等及等腰三角形的*质,判定点B为抛物线的顶点,点A、C关于对称轴对称.于是得到n+1=
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解答:解:(1)∵点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在二次函数y=-x2+ax(a>0)的图象上,∴y1=-n2+an,y2=-(n+1)2+a(n+1)∵y1=y2,∴-n2+an=-(n+1)2+a(n+1)整理得:a=2n+1∴a必为奇数;(2)当a=11时,∵y1≤y2≤y3∴-n2+11n≤-(n+1)2+11(n+1)≤-(n+2)2+11(n+2)化简得:0≤10-2n≤18-4n,解得:n≤4,∵n为正整数,∴n=1、2、3、4.(3)假设存在,则BA=BC,如右图所示.过点B作BN⊥x轴于点N,过点A作AD⊥BN于点D,CE⊥BN于点E.∵xA=n,xB=n+1,xC=n+2,∴AD=CE=1.在Rt△ABD与Rt△CBE中,
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点评:本题考查了二次函数的综合知识,涉及二次函数的图象与*质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点,有一定的难度,是一道好题.
【回答】
分析:(1)将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式,利用y1=y2得到用n表示a的式子,即可得到*;(2)将a=11代入解析式后,由题意列出不等式组,求得此不等式组的正整数解;(3)本问为存在型问题.如解答图所示,可以由三角形全等及等腰三角形的*质,判定点B为抛物线的顶点,点A、C关于对称轴对称.于是得到n+1=
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解答:解:(1)∵点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在二次函数y=-x2+ax(a>0)的图象上,∴y1=-n2+an,y2=-(n+1)2+a(n+1)∵y1=y2,∴-n2+an=-(n+1)2+a(n+1)整理得:a=2n+1∴a必为奇数;(2)当a=11时,∵y1≤y2≤y3∴-n2+11n≤-(n+1)2+11(n+1)≤-(n+2)2+11(n+2)化简得:0≤10-2n≤18-4n,解得:n≤4,∵n为正整数,∴n=1、2、3、4.(3)假设存在,则BA=BC,如右图所示.过点B作BN⊥x轴于点N,过点A作AD⊥BN于点D,CE⊥BN于点E.∵xA=n,xB=n+1,xC=n+2,∴AD=CE=1.在Rt△ABD与Rt△CBE中,
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点评:本题考查了二次函数的综合知识,涉及二次函数的图象与*质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点,有一定的难度,是一道好题.
知识点:
题型:
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