如图*，四边形的边、分别在轴、轴的正半轴上，顶点在点的抛物线交轴于点、，交轴于点，连接、、．已知，，，．（1）...

问题详情：

如图*，四边形的边、分别在轴、轴的正半轴上，顶点在点的抛物线交轴于点、，交轴于点，连接、、．已知，，，．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）求*：是外接圆的切线；

（3）试探究坐标轴上是否存在一点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）设沿轴正方向平移个单位长度(0＜t≤3)时，与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围．

【回答】

（1）；（2）*见解析；（3），，；（4）．

【解析】（1）解：由题意，设抛物线解析式为．

将代入上式，解得：．．则点．

（2）*：如图1，过点作于点，则．

在中，，

，．

在中，，

，．

．

是外接圆的直径．

在中，，．

在中，，．

，即．是外接圆的切线．

（3）中，，，，；

若以、、为顶点的三角形与相似，则必为直角三角形；

①为斜边时，在轴上，此时与重合；

由、，得、，即，即，

满足的条件，因此点是符合条件的点，坐标为．

②为短直角边时，在轴上；

若以、、为顶点的三角形与相似，则，；

而，则，,即：；

③为长直角边时，点在轴上；

若以、、为顶点的三角形与相似，则，；

则，；

综上，得：，，．

（4）设直线的解析式为．

将，代入，得，解得．

．

过点作*线轴交于点，当时，得，，．

情况一：如图2，

当时，设平移到的位置，交于点，交于点．

则，过点作轴于点，交于点．

由，得，即．

解得．

．

情况二：如图3，

当时，设平移到的位置，交于点，交于点．

由，得．即，解得．

，．

综上所述：．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题