已知f(x)=|xex|,又g(x)=2﹣tf(x)(t∈R),若方程g(x)=﹣2有4个不同的根,则t的取值...
问题详情:
已知f(x)=|xex|,又g(x)=2﹣tf(x)(t∈R),若方程g(x)=﹣2有4个不同的根,则t的取值范围为( )
A. B. C. D.
【回答】
C【考点】54:根的存在*及根的个数判断.
【分析】设f(x)=λ,研究f(x)的单调*和极值,得出f(x)=λ的解的情况,从而确定关于λ的方程λ2﹣tλ+2=0的解的分布情况,利用二次函数的*质得出t的范围.
【解答】解:解:f(x)=,
当x≥0时,f′(x)=ex+xex=(1+x)ex>0,
∴f(x)在上是增函数,在(﹣1,0)上是减函数.
当x=﹣1时,f(x)取得极大值f(﹣1)=.
令f(x)=λ,
又f(x)≥0,f(0)=0,
则当λ<0时,方程f(x)=λ无解;
当λ=0或λ>时,方程f(x)=λ有一解;
当λ=时,方程f(x)=λ有两解;
当0<λ<时,方程f(x)=λ有三解.
∵方程g(x)=﹣2有4个不同的根,即2﹣tf(x)+2=0有4个不同的解,
∴关于λ的方程λ2﹣tλ+2=0在(0,)和(,+∞)上各有一解.
∴,解得t>.
知识点:函数的应用
题型:选择题
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