已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=﹣x2+4x,(1)求f(x)的解析式(2)若函数...
问题详情:
已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=﹣x2+4x,
(1)求f(x)的解析式
(2)若函数f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,求实数a的取值范围.
【回答】
【考点】函数奇偶*的*质;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的*质及应用.
【分析】(1)先求f(0)=0,再设x<0,由奇函数的*质f(x)=﹣f(﹣x),利用x>0时的表达式求出x<0时函数的表达式.
(2)函数f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,可得﹣1<a﹣2≤2,即可求实数a的取值范围.
【解答】解:(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,且f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣f(﹣x),
设x<0,则﹣x>0,
∴f(﹣x)=﹣x2﹣4x,
∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(﹣x2﹣4x)=x2+4x,
∴f(x)=;
(2)∵函数f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,
∴﹣1<a﹣2≤2,
∴1<a≤4.
【点评】本题主要考查奇函数的*质求解函数的解析式,关键是利用原点两侧的函数表达式之间的关系解题.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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