如图,点P在直线y=x-1上,设过点P的直线交抛物线y=x2于A(a,a2),B(b,b2)两点,当满足PA=...
问题详情:
如图,点P在直线y=x-1上,设过点P的直线交抛物线y=x2于A(a,a2),B(b,b2)两点,当满足PA=PB时,称点P为“优点”.
(1)当a+b=0时,求“优点”P的横坐标;
(2)若“优点”P的横坐标为3,求式子18a-9b的值;
(3)小安演算发现:直线y=x-1上的所有点都是“优点”,请判断小安发现是否正确?如果正确,说明理由;如果不正确,举出反例.
【回答】
(1)点横坐标为;(2)27;(3)正确,理由见解析.
【分析】
(1)先判断点A与点B关于y轴对称得到PA∥x轴,所以P点的纵坐标为a2,P点的横坐标为a2+1,则利用PA=AB得到a2+1-a=a-(-a),然后求出a得到优点”P的横坐标; (2)由于A点为PB的中点,根据线段的中点坐标公式得到a=,即2a-b=3,然后利用整体代入的方法计算代数式的值;
(3)设P(x,x-1),利用A点为PB的中点得到a=,a2=,消去a得到方程x2+2(b-1)x+1-b2=0,然后通过*此方程一定有解判断直线y=x-1上的所有点都是“优点”.
【详解】
(1)∵,
∴点、关于对称,
∴轴,
∵,
∴点的横坐标为,
∴点的坐标为,点的坐标为,
∵轴,
∴,解得,
∴点横坐标为;
(2)∵点在直线上,
∴点坐标为,
∵,
∴,
∴,
∴;
(3)设点坐标为,结合点的坐标,
当时,分析出点的坐标为,
把点坐标代入抛物线解析式中,
,
整理,得,
∵,
∴对于任意,总有x使得PA=AB,
∴直线上的点均为优点.
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的*质;记住线段的中点坐标公式;理解判别式的意义.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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