在△ABC中，AC＝BC，D，E，F分别是直线AC，AB，BC上的点，且AD＝BE，AE＝BF．（1）如图1，...

问题详情：

在△ABC中，AC＝BC，D，E，F分别是直线AC，AB，BC上的点，且AD＝BE，AE＝BF．

（1）如图1，若∠DEF＝30°，求∠ACB的度数；

（2）设∠ACB＝x°，∠DEF＝y°，∠AED＝z°．

①求y与x之间的数量关系；

②如图2，E为AB的中点，求y与z之间的数量关系；

③如图2，E为AB的中点，若DF与AB之间的距离为8，AC＝16，求△ABC的面积．

【回答】

（1）解：∵AC＝CB，

∴∠A＝∠B，∵AD＝BE，AE＝BF，

∴△DAE≌△EBF（SAS），

∴∠ADE＝∠BEF，

∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∠BEF+∠DEF+∠AED＝180°，

∴∠A＝∠DEF＝30°，

∴∠A＝∠B＝30°，

∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．

（2）①*：如图1中，

由（1）可知△DAE≌△EBF，

∴∠ADE＝∠BEF，

∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∠BEF+∠DEF+∠AED＝180°，

∴∠A＝∠DEF＝y°，

∴∠A＝∠B＝y°，

∴x+2y＝180°，

∴y＝90°﹣0.5x．

②如图2中，连接EC，作EM⊥AC与M，DN⊥AB与N．

∵△DAE≌△EBF，

∴AD＝EB，

∵EA＝EB，

∴AE＝EB＝BF＝AD，

∴∠ADE＝∠AED＝z°，

∴y＝180﹣2z．

（3）如图2﹣1中，连接CE，作DN⊥AB于N，EM⊥AC于M．

∵•AD•EM＝•AE•DN，AD＝AE，

∴EM＝DN＝8，

∵AE＝EB，

∴S△ABC＝2S△ACE＝2וAC•EM＝128．

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题