设函数,,.(1)若函数有两个零点,试求的取值范围;(2)*.
问题详情:
设函数,,.
(1)若函数有两个零点,试求的取值范围;
(2)*.
【回答】
解:(1)函数的定义域为,由已知得.
①当时,函数只有一个零点;
②当,因为, 当时,;当时,.
所以函数在上单调递减,在上单调递增.又,,
因为,所以,所以,
所以,取,显然且
所以,.
由零点存在*定理及函数的单调*知,函数有两个零点.
③当时,由,得或.
当,则.当变化时,,变化情况如下表:
0 | |||||
0 | - | 0 | |||
-1 |
注意到,所以函数至多有一个零点,不符合题意.
当,则,在单调递增,函数至多有一个零点,不符合题意.
若,则.当变化时,,变化情况如下表:
0 | |||||
0 | - | 0 | |||
-1 |
注意到当,时,,,
所以函数至多有一个零点,不符合题意.
综上,的取值范围是.
(2)*:.
设,其定义域为,则*即可.
因为,取,则
,且.
又因为,所以函数在上单增.
所以有唯一的实根,且.
当时,;当时,.所以函数的最小值为.
所以.
所以.
知识点:函数的应用
题型:解答题
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