如图(1),已知圆O是等边△ABC的外接圆,过O点作MN//BC分别交AB、AC于M、N,且MN=a。另一个与...
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如图(1),已知圆O是等边△ABC的外接圆,过O点作MN//BC分别交AB、AC于M、N,且MN=a。另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动(不与点M、N重合),并始终保持EF//BC,DF交AB于点P,DE交AC于点Q。
(1)试判断四边形APDQ的形状,并进行*;
(2)设DM为x,四边形APDQ的面积为y,试探究y与x的函数关系式;四边形APDQ的面积能取到最大值吗?如果能,请求出它的最大值,并确定此时D点的位置。
(3)如图(2),当D点和圆心O重合时,请判断四边形APDQ的形状,并说明理由;你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗?为什么?
【回答】
(1)可知四边形APDQ为平行四边形
*:由题知△ABC≌△DEF 且△ABC
△DEF为等边三角形
∴∠BAC=∠EDF=60°
又∵EF//BC,MN//BC
∴EF//BC//MN
∴∠MDF=∠DFE=60°,∠FED=∠EDN=60°
∠MNA=∠BCA=60°,∠QDN=∠QND=60°
∴△DQN为等边三角形
∴∠DQN=∠PDQ=60°,∴PD//AQ
∴∠BAC=∠DQN=60°,∴AP//DQ
∴四边形APDQ为平行四边形
(2)
∴当x取时,即D点位于MN的中点位置时,四边形APDQ的面积最大,且最大值为
(3)当D点和圆心O重合时,四边形APDQ为菱形
理由:由(1)、(2)可知,△MPO,△QON为等边三角形,且MO=ON
所以△MPQ≌△QON
因此OP=OQ,又因为四边形APDQ为平行四边形。
所以可知四边形APDQ为菱形
由题可知,,而由(2)知
知识点:二次函数的图象和*质
题型:综合题
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