已知:如图,点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点,OC平分∠MON,在∠CON的内部取一点P(点A、P、...
问题详情:
已知:如图,点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点,OC平分∠MON,在∠CON的内部取一点P(点A、P、B三点不在同一直线上),连接PA、PB.
(1)探索∠APB与∠MON、∠PAO、∠PBO之间的数量关系,并*你的结论;
(2)设∠OAP=x°,∠OBP=y°,若∠APB的平分线PQ交OC于点Q,求∠OQP的度数(用含有x、y的代数式表示).
【回答】
(1)见解析;(2)∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°.
【解析】
【试题分析】(1)分下面两种情况进行说明;
①如图1,点P在直线AB的右侧,∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°,
②如图2,点P在直线AB的左侧,∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO,
(2)分两种情况讨论,如图3和图4.
【试题解析】
(1)分两种情况:
①如图1,点P在直线AB的右侧,∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°,
*:∵四边形AOBP的内角和为(4﹣2)×180°=360°,
∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO;
②如图2,点P在直线AB的左侧,∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO,
*:延长AP交ON于点D,
∵∠ADB是△AOD的外角,
∴∠ADB=∠PAO+∠AOD,
∵∠APB是△PDB的外角,
∴∠APB=∠PDB+∠PBO,
∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO;
(2)设∠MON=2m°,∠APB=2n°,
∵OC平分∠MON,
∴∠AOC=∠MON=m°,
∵PQ平分∠APB,
∴∠APQ=∠APB=n°,
分两种情况:
第一种情况:如图3,∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ,即∠OQP=m°+x°+n°①
∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°,
∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ,即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②,
①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°,
∴∠OQP=180°+x°﹣y°;
第二种情况:如图4,∵∠OQP+∠APQ=∠MOC+∠PAO,
即∠OQP+n°=m°+x°,
∴2∠OQP+2n°=2m°+2x°①,
∵∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO,
∴2n°=2m°+x°+y°②,
①﹣②得2∠OQP=x°﹣y°,
∴∠OQP=x°﹣y°,
综上所述,∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°.
知识点:角
题型:解答题
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