若存在常数k和b(k、b∈R),使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足:和,则称直线l:为和的“隔离直线”...
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若存在常数k和b (k、b∈R),使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足:和,则称直线l:为和的“隔离直线”.已知, (其中e为自然对数的底数).(1)求的极值;(2)函数和是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)解:∵,∴当时, ∵当时,,此时函数递减;当时,,此时函数递增;∴当时,F(x)取极小值,其极小值为0.
(2)解:由(1)可知函数和的图象在处有公共点,因此若存在和的隔离直线,则该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k,则直线方程为,即 由,可得当时恒成立由得 下面*当时恒成立.令,则, 当时,.∵当时,,此时函数递增;当时,,此时函数递减; ∴当时,取极大值,其极大值为0. 从而,即恒成立. ∴函数和存在唯一的隔离直线.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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