定义在D上的函数f(x),若满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的...
问题详情:
定义在D上的函数f(x),若满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界:
(1)设f(x)=,判断f(x)在[﹣,]上是否有界函数,若是,请说明理由,并写出
f(x)的所有上界的值的*,若不是,也请说明理由;
(2)若函数g(x)=1+a•()x+()x在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
【回答】
解:(1)f(x)==1﹣,
则f(x)在[﹣,]上是增函数;
故f(﹣)≤f(x)≤f();
即﹣1≤f(x)≤,
故|f(x)|≤1,
故f(x)是有界函数;
故f(x)的所有上界的值的*是[1,+∞);
(2)∵g(x)=1+a•()x+()x在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,
∴﹣3≤1+a•()x+()x≤3在[0,+∞)上恒成立,
∴﹣(4•2x+2﹣x)≤a≤2•2x﹣2﹣x在[0,+∞)上恒成立,
而﹣(4•2x+2﹣x)在[0,+∞)上的最大值为﹣5;
2•2x﹣2﹣x在[0,+∞)上的最小值为1;
故﹣5≤a≤1;
故实数a的取值范围为[﹣5,1].
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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