若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．...

问题详情：

若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．

（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；

（2）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；

（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．

【回答】

 解：（1）因为函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，

∴f（x）+f（﹣x）=2，

即，

所以2m=2，

∴m=1．

（2）因为函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，

则g（x）+g（﹣x）=2，

∴g（x）=2﹣g（﹣x），

∴当x＜0时，则﹣x＞0，

∴g（﹣x）=x2﹣ax+1，

∴g（x）=2﹣g（﹣x）=﹣x2+ax+1；

（3）由（1）知，，

∴f（t）min=3，

又当x＜0时，g（x）=﹣x2+ax+1

∴g（x）=﹣x2+ax+1＜3，

∴ax＜2+x2又x＜0，

∴，

∴．

知识点：函数的应用

题型：解答题