定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立,则使...
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定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立,则使x2f(x)﹣4f(2)<x2﹣4成立的实数x的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) B.(﹣2,0)∪(0,2) C.{x|x≠±2} D.(﹣2,2)
【回答】
A
【解析】当x>0时,由2f(x)+xf′(x)﹣2<0可知:两边同乘以x得: 2xf(x)﹣x2f′(x)﹣2x<0 设:g(x)=x2f(x)﹣x2 则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)﹣2x<0,恒成立: ∴g(x)在(0,+∞)单调递减, 由x2f(x)﹣4f(2)<x2﹣4, ∴x2f(x)﹣x2<4f(2)﹣4, 即g(x)<g(2) 即x>2; 当x<0时,函数是偶函数,同理得:x<﹣2, 综上可知:实数x的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞), 故选:A. 根据已知构造合适的函数,对函数求导,根据函数的单调*,求出函数的取值范围,并根据偶函数的*质:对称*,求出x<0的取值范围.
知识点:导数及其应用
题型:选择题
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