定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为的上界.已知函数.(1)当时...
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定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为的上界.已知函数.
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否有上界,请说明理由;
(2)若,函数在是以为上界的有界函数,求实数的取值范围;
(3)已知为正整数,当时,是否存在整数,使得对任意的,不等式恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【回答】
【*】:解:(I)当时,,
易知在上单调递减,∴.∴在上的值域为.∴不存在常数,使得成立,∴在上没有上界.
(II) 由题意知,在上恒成立.令,
∴题意等价于在上恒成立.在上恒成立..设 易知在上递减.
令,有
∴在上递增.∴,.∴实数的取值范围是.
(III)当时,,∴题意等价于对任意的恒成立.∵当为正奇数时,;当为正偶数时,,
∴.∴当,即时,不存在满足题意的;
当,即时,存在满足题意的,且.
∵为正整数,∴.此时,,∵为整数,∴.
知识点:不等式
题型:解答题
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